Bài Tập Nguyên Hàm

Các dạng bài tập Nguyên hàm chọn lọc, có đáp án

Với các dạng bài tập Nguyên hàm chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 200 bài xích tập trắc nghiệm gồm lời giải chi tiết với đầy đủ phương thức giải, lấy ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài xích tập Nguyên hàm từ kia đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Bài tập nguyên hàm

*

Bài tập trắc nghiệm

Cách tra cứu nguyên hàm của hàm số

A. Phương thức giải & Ví dụ

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm

Định nghĩa: cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn xuất xắc nửa khoảng). Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K giả dụ F"(x) = f(x) với đa số x ∈ K.

Định lí:

1) giả dụ F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của f(x) bên trên K.

2) nếu F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K thì đông đảo nguyên hàm của f(x) bên trên K đều sở hữu dạng F(x) + C, với C là một trong những hằng số.

Do kia F(x)+C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) bên trên K. Cam kết hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.

2. đặc thù của nguyên hàm

đặc thù 1: (∫f(x)dx)" = f(x) cùng ∫f"(x)dx = f(x) + C

đặc điểm 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số không giống 0.

Xem thêm: Nhẫn Nữ Con Cóc Có Ý Nghĩa Nhẫn Con Cóc Ngậm Tiền Và Cách Đeo Hợp Phong Thủy

đặc điểm 3:dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

3. Sự lâu dài của nguyên hàm

Định lí: phần đa hàm số f(x) tiếp tục trên K đều phải có nguyên hàm bên trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấpNguyên hàm của hàm số thích hợp (u = u(x)
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

Phương pháp sử dụng định nghĩa vá tính chất

+ chuyển đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của những biểu thức đựng x.

+ Đưa các mỗi biểu thức chứa x về dạng cơ bạn dạng có trong bảng nguyên hàm.

+ Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản.

Ví dụ minh họa

Bài 1: tìm nguyên hàm của hàm số

*

*

Hướng dẫn:

*

*

Bài 2: search nguyên hàm của hàm số

*

*

Hướng dẫn:

*

*

Tìm nguyên hàm bằng cách thức đổi thay đổi số

A. Cách thức giải và Ví dụ

STTDạng tích phânCách đặtĐặc điểm dấn dạng
1
*
t = f(x)Biểu thức dưới mẫu
2
*
t = t(x)Biểu thức tại đoạn số mũ
3
*
t = t(x)Biểu thức trong vệt ngoặc
4
*
*
Căn thức
5
*
t = lnxdx/x đi kèm biểu thức theo lnx
6
*
t = sinxcosx dx đi kèm theo biểu thức theo sinx
7
*
t = cosxsinx dx kèm theo biểu thức theo cosx
8
*
t = tanx
*
kèm theo biểu thức theo tanx
9
*
t = cotx
*
kèm theo biểu thức theo cotx
10
*
t = eaxeax dx kèm theo biểu thức theo eax
Đôi khi thay giải pháp đặt t = t(x) vị t = m.t(x) + n ta sẽ biến hóa dễ dàng hơn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

*
*

Hướng dẫn:

*
*
*
*

Bài 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

*
*

Hướng dẫn:

*
*
*
*

Bài 3: Tìm những họ nguyên hàm sau đây:

*
*

Hướng dẫn:

*
*

Cách tra cứu nguyên hàm bằng phương thức từng phần

A. Phương thức giải & Ví dụ

Với việc tìm nguyên hàm của những hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng cách thức nguyên hàm từng phần theo công thức

*

Dưới đấy là một số trường hòa hợp thường chạm mặt như nuốm (với P(x) là một trong những đa thức theo ẩn x)

*
*

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm chúng ta nguyên hàm của hàm số

a) ∫xsinxdx

b) ∫ex sinx dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫xsinxdx

*

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta bao gồm

F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

b) Xét F(x) = ∫ex sinx dx

*

F(x) = ex sinx-∫ex cosx dx = ex sinx-G(x) (1)

Với G(x) = ∫ex cosx dx

*

G(x) = ex cosx+∫ex sinx dx+C"=ex cosx+F(x)+C" (2)

Từ (1) và (2) ta gồm F(x) = ex sinx-ex cosx - F(x) - C"

*

Ghi nhớ: gặp gỡ ∫emx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫emx+n.cos(ax+b)dx ta luôn luôn thực hiện cách thức nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp.

Bài 2: Tìm bọn họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫x.2x dx

*

b)

*

Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx

*

Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx = (x2-1) ex-(2x.ex - ∫2.ex dx)

Sieukeo - Kèo nhà cái trực tuyến hôm nay